Explainer | ಶ್ರೀನಿವಾಸ ರಾಮಾನುಜನ್ ಯಾರು? ಡಿ.22ರಂದು ರಾಷ್ಟ್ರೀಯ ಗಣಿತ ದಿನ ಆಚರಿಸುವುದು ಏಕೆ?

ಭಾರತದ ಖ್ಯಾತ ಗಣಿತಜ್ಞ ಶ್ರೀನಿವಾಸ ರಾಮಾನುಜನ್ ಅವರ ಹುಟ್ಟುಹಬ್ಬ ಇಂದು (ಡಿ.22). ಈ ದಿನವನ್ನು ರಾಷ್ಟ್ರೀಯ ಗಣಿತದಿನವನ್ನಾಗಿ ಆಚರಿಸಲಾಗುತ್ತಿದೆ. ‘ಅನಂತ ಅರಿತ ಮನುಷ್ಯ’ (The Man Who Knew Infinity) ಎಂದೇ ಜಗತ್ತು  ಶ್ರೀನಿವಾಸ ರಾಮಾನುಜನ್ ಅವರನ್ನು ಗೌರವಿಸಿದೆ. ರಾಮಾನುಜನ್ ಹುಟ್ಟಿದ ದಿನವನ್ನೇ ನಮ್ಮ ದೇಶವು ಗಣಿತ ದಿನವಾಗಿ ಆಚರಿಸುತ್ತಿದೆ.

ರಾಮಾನುಜನ್ ಯಾರು? ಗಣಿತದಲ್ಲಿ ಅವರ ಸಾಧನೆಗಳೇನು?

ತಮಿಳುನಾಡಿನ (ಆಗಿನ ಮದ್ರಾಸ್ ಪ್ರಾಂತ್ಯ) ಈರೋಡ್​ನಲ್ಲಿ 1887ರಲ್ಲಿ ಐಯ್ಯಂಗಾರ್ ಬ್ರಾಹ್ಮಣ ಕುಟುಂಬದಲ್ಲಿ 1887 ಡಿಸೆಂಬರ್ 22 ರಂದು ಶ್ರೀನಿವಾಸ ರಾಮಾನುಜನ್ ಜನಿಸಿದರು. ಸಾಂಪ್ರದಾಯಿಕ ಶಿಕ್ಷಣ ಲಭಿಸಲು ಕಷ್ಟವಿದ್ದ ಕಾಲದಲ್ಲಿ ರಾಮಾನುಜನ್ ತಮ್ಮ 12ನೇ ವಯಸ್ಸಿನಲ್ಲಿ ತ್ರಿಕೋನಮಿತಿ (trigonometry) ಮತ್ತು ಹಲವಾರು ಪ್ರಮೇಯಗಳನ್ನು ರೂಪಿಸಿದ್ದರು. 1904ರಲ್ಲಿ ಸೆಕೆಂಡರಿ ಶಾಲಾ ಶಿಕ್ಷಣ ಮುಗಿಸಿದ ರಾಮಾನುಜನ್ ಕುಂಭಕೋಣ ಸರ್ಕಾರಿ ಆರ್ಟ್ ಕಾಲೇಜಿನಲ್ಲಿ ಸ್ಕಾಲರ್ ಶಿಪ್​ಗೆ ಅರ್ಹತೆ ಪಡೆದಿದ್ದರು. ಆದರೆ ಇತರ ವಿಷಯಗಳಲ್ಲಿ ಅವರಿಗೆ ಹೆಚ್ಚು ಆಸಕ್ತಿ ಇರದ ಕಾರಣ ಶಿಕ್ಷಣ ಪೂರ್ಣಗೊಳಿಸಲು ಆಗಲೇ ಇಲ್ಲ.

14ನೇ ವಯಸ್ಸಿನಲ್ಲಿ ಮನೆಯಿಂದ ಓಡಿ ಹೋಗಿ ಮದ್ರಾಸ್​​ನಲ್ಲಿರುವ ಪಚ್ಚಯಪ್ಪ ಕಾಲೇಜಿಗೆ ಸೇರಿದರು. ಗಣಿತದಲ್ಲಿ ಮಾತ್ರ ಜಾಣರಾಗಿದ್ದ ಇವರು ಇತರ ವಿಷಯಗಳಲ್ಲಿ ಹಿಂದುಳಿದರು. ಹಾಗಾಗಿ ಪದವಿ ಪೂರೈಸಲು ಆಗಲಿಲ್ಲ. ಮನೆಯಲ್ಲಿ ಕಡುಬಡತನವಿದ್ದರೂ ರಾಮಾನುಜನ್ ಸ್ವತಃ ಗಣಿತದಲ್ಲಿ ಅಧ್ಯಯನ ಆರಂಭಿಸಿದರು.

ಪೈ ಮೌಲ್ಯವನ್ನು 8ನೇ ದಶಾಂಶ ಸ್ಥಾನದವರೆಗೆ ನಿಖರವಾಗಿ ಮತ್ತು ವೇಗವಾಗಿ ಗುರುತಿಸುವುದರಲ್ಲಿ ರಾಮಾನುಜನ್ ಗೆಲುವು ಸಾಧಿಸಿದರು. ಇಂಡಿಯನ್ ಮೆಥಮೆಟಿಕಲ್ ಸೊಸೈಟಿಯ ಜರ್ನಲ್​ನಲ್ಲಿ ಅವರ ಪ್ರಬಂಧ ಪ್ರಕಟವಾಯಿತು.

ಅಷ್ಟೊತ್ತಿಗೆ ಚೆನ್ನೈನ ಗಣಿತಜ್ಞರ ವಲಯದಲ್ಲಿ ರಾಮಾನುಜನ್ ಗುರುತಿಸಲ್ಪಟ್ಟರು. 1912ರಲ್ಲಿ ಇಂಡಿಯನ್ ಮ್ಯಾಥಮೆಟಿಕಲ್ ಸೊಸೈಟಿ ಸಂಸ್ಥಾಪಕ ರಾಮಸ್ವಾಮಿ ಅಯ್ಯರ್ ಅವರು ಮದ್ರಾಸ್ ಪೋರ್ಟ್ ಟ್ರಸ್ಟ್ ನಲ್ಲಿ ಗುಮಾಸ್ತ (ಕ್ಲರ್ಕ್) ಕೆಲಸವನ್ನು ಕೊಡಿಸಿದರು.

ಕೆಲಸ ಆರಂಭಿಸಿದ ರಾಮಾನುಜನ್ ತಮ್ಮ ಗಣಿತ ಅಧ್ಯಯನದ ಬಗ್ಗೆ ಬ್ರಿಟಿಷ್ ಗಣಿತಜ್ಞರಿಗೆ ಪತ್ರ ಬರೆಯುತ್ತತಲೇ ಇದ್ದರು. 1913ರಲ್ಲಿ ಕೇಂಬ್ರಿಡ್ಜ್​ ಮೂಲದ ಜಿ.ಎಚ್ ಹಾರ್ಡಿ ಅವರಿಂದ ರಾಮಾನುಜನ್ ಅವರ ಪತ್ರಕ್ಕೆ ಉತ್ತರ ಬಂತು. ರಾಮಾನುಜನ್ ಅವರ ಪ್ರಮೇಯ ಮತ್ತು ಅನಂತ ಶ್ರೇಣಿ ಬಗ್ಗೆ ಅವರು ಮಾಡಿದ ಅಧ್ಯಯನಕ್ಕೆ ಶ್ಲಾಘಿಸಿದ ಹಾರ್ಡಿ, ಅವರನ್ನು ಲಂಡನ್​ಗೆ ಬರಲು ಹೇಳಿದರು.

1914ರಲ್ಲಿ ಬ್ರಿಟನ್​ಗೆ ಬಂದ ರಾಮಾನುಜನ್ ಅವರನ್ನು ಹಾರ್ಡಿ ಕ್ಯಾಂಬ್ರಿಡ್ಜ್ ನ ಟ್ರಿನಿಟಿ ಕಾಲೇಜಿನಲ್ಲಿ ಅಧ್ಯಯನ ಮುಂದುವರಿಸಲು ಹೇಳಿದರು. ರಾಮಾನುಜನ್ ಅವರಿಗೆ ಕಲಿಸಿದ್ದಕಿಂತ ಹೆಚ್ಚು ನಾನು ಅವರಿಂದ ಕಲಿತೆ ಎಂದು ಹಾರ್ಡಿ ಹೇಳಿದ್ದರು.

1917ರಲ್ಲಿ ರಾಮಾನುಜನ್ ಲಂಡನ್ ಮೆಥಮೆಟಿಕಲ್ ಸೊಸೈಟಿ ಸದಸ್ಯರಾಗಿ ಆಯ್ಕೆಯಾದರು. 1918ರಲ್ಲಿ ರೋಯಲ್ ಸೊಸೈಟಿ ಫೆಲೊ ಆದರು. ಈ ಸ್ಥಾನಕ್ಕೇರಿದ ಕಿರಿಯ ಗಣಿತಜ್ಞ ಎಂಬ ಹೆಗ್ಗಳಿಕೆಯೂ ರಾಮಾನುಜನ್ ಅವರದ್ದು. ಇಂಗ್ಲೆಂಡ್​ನಲ್ಲಿ ಸಾಕಷ್ಟು ಸಾಧನೆಗಳನ್ನು ಮಾಡಿದ ಅವರು 1919ಕ್ಕೆ ಭಾರತಕ್ಕೆ ಮರಳಿದರು. ಊರಿನಲ್ಲಿ ಅವರ ಆರೋಗ್ಯ ಹದಗೆಟ್ಟಿತು. 1920ರಲ್ಲಿ ಅವರು ಕೊನೆಯುಸಿರೆಳೆದಾಗ ಅವರ ವಯಸ್ಸು ಕೇವಲ 32.

‘ಇಷ್ಟು ಚಿಕ್ಕ ವಯಸ್ಸಿನಲ್ಲಿ ರಾಮಾನುಜನ್ ತೀರಿಹೋಗಿದ್ದು ವೈಜ್ಞಾನಿಕ ಸಮುದಾಯಕ್ಕೆ ದೊಡ್ಡ ಹೊಡೆತ. ಸಾಧಿಸಬೇಕು ಎಂದುಕೊಂಡಿದ್ದನ್ನು ಅವರು ಬಾಕಿ ಉಳಿಸಿಹೋದರು’ ಎಂದು ರಾಯಲ್ ಸೊಸೈಟಿ ವೆಬ್‌ಸೈಟ್‌ನಲ್ಲಿ ರಾಮಾನುಜನ್ ಬಗ್ಗೆ ಉಲ್ಲೇಖವಿದೆ.

ಗಣಿತ ಲೋಕಕ್ಕೆ ಅವರ ಕೊಡುಗೆ

ರಾಮಾನುಜನ್ ಅವರ ಪ್ರತಿಭೆಯನ್ನು ಗಣಿತಜ್ಞರು ಕ್ರಮವಾಗಿ 18 ಮತ್ತು 19ನೇ ಶತಮಾನಗಳ ಯೂಲರ್ ಮತ್ತು ಜಾಕೋಬಿಗೆ ಸಮನಾಗಿ ಪರಿಗಣಿಸಿದ್ದಾರೆ. ಸಂಖ್ಯೆ ಸಿದ್ಧಾಂತದಲ್ಲಿ ಅವರ ಕೆಲಸವನ್ನು ವಿಶೇಷವಾಗಿ ಪರಿಗಣಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ. ಪಾರ್ಟಿಷನ್ ಫಂಕ್ಷನ್​​ನಲ್ಲಿ ಅವರು ಹೆಚ್ಚಿನ ಅಧ್ಯಯನ ನಡೆಸಿದ್ದರು. ರಾಮಾನುಜನ್ ಅವರು ಮುಂದುವರಿದ ಭಿನ್ನರಾಶಿಗಳ (continued fractions) ಪಾಂಡಿತ್ಯಕ್ಕಾಗಿ ಗುರುತಿಸಲ್ಪಟ್ಟರು. ರೀಮನ್ ಸರಣಿಗಳು, ಎಲಿಪ್ಟಿಕ್ ಇಂಟಿಗ್ರಲ್ಸ್, ಹೈಪರ್ಜಿಯೊಮೆಟ್ರಿಕ್ ಸರಣಿಗಳು ಮತ್ತು ಜೀಟಾ ಕ್ರಿಯೆಯ ಕ್ರಿಯಾತ್ಮಕ ಸಮೀಕರಣಗಳನ್ನು ಅವರು ರೂಪಿಸಿದ್ದರು.

ಸಾಯುವುದಕ್ಕೂ ಮುನ್ನ ಮೂರು ನೋಟ್ ಪುಸ್ತಕಗಳಲ್ಲಿ ರಾಮಾನುಜನ್ ಬರೆದಿದ್ದ ಲೆಕ್ಕಗಳ ಬಗ್ಗೆ ಅವರ ನಿಧನ ನಂತರ ತಜ್ಞರು ಹಲವಾರು ವರ್ಷ ಅಧ್ಯಯನ ನಡೆಸಿದರು. 2015ರಲ್ಲಿ ರಾಮಾನುಜನ್ ಬಯೊಪಿಕ್ The Man Who Knew Infinity ತೆರೆಕಂಡಿದೆ. 2012ರಲ್ಲಿ ಮನಮೋಹನ್ ಸಿಂಗ್ ಪ್ರಧಾನಿಯಾಗಿದ್ದಾಗ ಡಿಸೆಂಬರ್ 22ನ್ನು ರಾಷ್ಟ್ರೀಯ ಗಣಿತ ದಿನವನ್ನಾಗಿ ಘೋಷಿಸಿದರು.

ಹಾರ್ಡಿ-ರಾಮಾನುಜನ್ ಸಂಖ್ಯೆ 1729

ಇಂಗ್ಲೆಂಡ್​ನ ಹವಾಮಾನ ಮತ್ತು ಅಲ್ಲಿನ ಜೀವನಶೈಲಿಗೆ ಹೊಂದಿಕೊಳ್ಳಲು ರಾಮಾನುಜನ್ ತುಂಬ ಕಷ್ಟಪಟ್ಟರು. ತಮ್ಮ ಕೋಣೆಯಲ್ಲಿ ಸ್ಟೌ ಇಟ್ಟುಕೊಂಡು ರಸಂ, ಸಾಂಬಾರ್, ಅನ್ನ ಮಾಡಿಕೊಳ್ಳುತ್ತಿದ್ದರು. 1914ರಲ್ಲಿ ಮೊದಲ ಮಹಾಯುದ್ಧ ಆರಂಭವಾದಾಗಲೂ ರಾಮಾನುಜನ್ ತಮ್ಮ ಅಧ್ಯಯನದಲ್ಲೇ ತೊಡಗಿದ್ದರು. ಅವರಿಗೆ ಬ್ಯಾಚುಲರ್ ಆಫ್ ಸೈನ್ಸ್ ಬೈ ರಿಸರ್ಚ್ ಪದವಿ ಲಭಿಸಿತು.

ರಾಮಾನುಜನ್ ಅವರಿಗೆ ಕ್ಷಯ ರೋಗ ಬಾಧಿಸಿತ್ತು. ಆಸ್ಪತ್ರೆಯಲ್ಲಿ ಚಿಕಿತ್ಸೆ ಪಡೆಯುತ್ತಿದ್ದ ಅವರನ್ನು ನೋಡಲು ಹಾರ್ಡಿ ಬಂದಿದ್ದ ಟ್ಯಾಕ್ಸಿ ಸಂಖ್ಯೆ 1729. ಅದೊಂದು ಆಸಕ್ತಿಕರವಲ್ಲದ ಸಂಖ್ಯೆ ಎಂದು ಹಾರ್ಡಿ ಹೇಳಿದಾಗ ಅದು ಆಸಕ್ತಿರವಾದ ಸಂಖ್ಯೆ ಎಂಬುದು ರಾಮಾನುಜನ್ ಉತ್ತರ. ಎರಡು ಕ್ಯೂಬ್​ಗಳ ಮೊತ್ತವನ್ನು 2 ರೀತಿಯಲ್ಲಿ ಬರೆಯಬಹುದಾದ ಅತೀ ಚಿಕ್ಕ ಸಂಸ್ಥೆ 1729 ಎಂದು ರಾಮಾನುಜನ್ ಹೇಳಿದರು. ಈ ಸಂಖ್ಯೆಯು ಇಂದು ಹಾರ್ಡಿ-ರಾಮಾನುಜನ್ ಸಂಖ್ಯೆ ಎಂದು ಖ್ಯಾತಿಗಳಿಸಿದೆ.

ಶ್ರೀನಿವಾಸ ರಾಮಾನುಜನ್

ರಾಮಾನುಜನ್ -ಜೀವನದ ಪ್ರಮುಖ ಘಟನೆಗಳು 1887: ಬಟ್ಟೆಯಂಗಡಿಯೊಂದರಲ್ಲಿ ಲೆಕ್ಕ ಬರೆಯುತ್ತಿದ್ದ ಕುಪ್ಪಸ್ವಾಮಿ ಶ್ರೀನಿವಾಸ ಅಯ್ಯಂಗಾರ್ ಮತ್ತು ಕೋಮಳತ್ತಾಮ್ಮಳ್ ಪುತ್ರನಾಗಿ 1887 ಡಿಸೆಂಬರ್ 22ರಂದು ಈರೋಡ್​ನಲ್ಲಿ ಜನನ. ಬಾಲ್ಯದಿಂದಲೇ ಗಣಿತದಲ್ಲಿ ಅಪಾರ ಆಸಕ್ತಿ. ಯಾವುದೇ ಸಂಖ್ಯೆಯನ್ನು ಅದೇ ಸಂಖ್ಯೆಯಿಂದ ಭಾಗಿಸಿದರೆ ಸಿಗುವ ಉತ್ತರ 1 ಎಂದು ಶಿಕ್ಷಕರು ಹೇಳಿದಾಗ, ಆಗ ಮೂರನೇ ತರಗತಿಯಲ್ಲಿದ್ದ ರಾಮಾನುಜನ್ ಕೇಳಿದ ಪ್ರಶ್ನೆ ಸೊನ್ನೆಯನ್ನು ಸೊನ್ನೆಯಿಂದ ಭಾಗಿಸಿದರೆ ಸಿಗುವ ಉತ್ತರ ಎಷ್ಟು ಎಂಬುದಾಗಿತ್ತು.

1903: ಹೈಸ್ಕೂಲ್​ನಲ್ಲಿ ಕಲಿಯುತ್ತಿರುವಾಗ ಜಿ.ಎಸ್. ಕಾರ್ ಅವರ ‘ಎ ಸಿನೋಪ್ಸಿಸ್ ಆಫ್ ಎಲಿಮೆಂಟರಿ ರಿಸಲ್ಟ್ ಇನ್ ಪ್ಯೂರ್ ಮ್ಯಾಥಮೆಟಿಕ್ಸ್’‌ (synopsis of elementary results in pure mathematics) ಎಂಬ ಪುಸ್ತಕ ರಾಮಾನುಜನ್ ಅವರ ಕೈಗೆ ಸಿಕ್ಕಿತು. ಆ ಪುಸ್ತಕ ಅವರ ಮೇಲೆ ಬಹಳಷ್ಟು ಪ್ರಭಾವ ಬೀರಿತು. ಮೆಟ್ರಿಕ್ಯುಲೇಷನ್ ಪಾಸಾಗಿ ಕುಂಭಕೋಣದಲ್ಲಿರುವ ಸರ್ಕಾರಿ ಕಾಲೇಜಿಗೆ ಸೇರಿದರು. ಗಣಿತ ಬಿಟ್ಟು ಬೇರೆ ಯಾವುದೇ ವಿಷಯದಲ್ಲಿ ಅವರಿಗೆ ಆಸಕ್ತಿ ಇರಲಿಲ್ಲ. ಸ್ಕಾಲರ್​ಶಿಪ್ ನಿಂತು ಹೋದಾಗ ರಾಮಾನುಜನ್ ಮನೆ ಬಿಟ್ಟು ಹೋಗಿದ್ದರು.

1906: ಮದ್ರಾಸ್​ನಲ್ಲಿರುವ ಪಚ್ಚಯಪ್ಪಾಸ್ ಕಾಲೇಜು ಸೇರಿದರೂ ಗಣಿತ ಬಿಟ್ಟು ಬೇರೆ ವಿಷಯದಲ್ಲಿ ಫೇಲಾದರು. ಹಾಗಾಗಿ ಮದ್ರಾಸ್ ವಿವಿಯಲ್ಲಿ ಪ್ರವೇಶ ಸಿಗಲಿಲ್ಲ. ಶಿಕ್ಷಣ ಮೊಟಕುಗೊಂಡ ನಂತರ ಮಕ್ಕಳಿಗೆ ಟ್ಯೂಷನ್ ನೀಡಿ ಸಂಪಾದನೆ ಮಾಡಿದರು.

1909: ಜಾನಕಿ ಜತೆ ಮದುವೆ. ಜವಾಬ್ದಾರಿಗಳೂ ಹೆಚ್ಚಿದ್ದರಿಂದ 1912 ರಲ್ಲಿ ಅವರು ಮದ್ರಾಸ್ ಅಕೌಂಟ್ಸ್ ಜನರಲ್ ಕಚೇರಿಯಲ್ಲಿ ಗುಮಾಸ್ತರಾದರು.

1913: ಖ್ಯಾತ ಗಣಿತಶಾಸ್ತ್ರಜ್ಞರಿಗೆ ತಾವು ಮಾಡಿದ ಅಧ್ಯಯನ, ಪ್ರಮೇಯಗಳನ್ನು ರಾಮಾನುಜನ್ ನಿಯಮಿತವಾಗಿ ಕಳಿಸಿಕೊಡುತ್ತಿದ್ದರು. ಅವರ ಪೈಕಿ ಕೆಲವರು ಮಾತ್ರ ರಾಮಾನುಜನ್ ಅವರಿಗೆ ಪ್ರತಿಕ್ರಿಯಿಸುತ್ತಿದ್ದರು. 1913ರಲ್ಲಿ ರಾಮಾನುಜನ್ ಅವರು ಬರೆದ ಪತ್ರಕ್ಕೆ ಕೇಂಬ್ರಿಡ್ಜ್ ವಿಶ್ವವಿದ್ಯಾಲದ ಪ್ರೊಫೆಸರ್ ಜಿ.ಎಚ್.ಹಾರ್ಡಿ ಉತ್ತರ ಬರೆದರು.

1914: ರಾಮಾನುಜನ್ ಅವರನ್ನು ಇಂಗ್ಲೆಂಡ್​ಗೆ ಕರೆತರಲು ಹಾರ್ಡಿ ಪ್ರಯತ್ನ ಮಾಡುತ್ತಲೇ ಇದ್ದರು. ರಾಮಾನುಜನ್ ಅವರು ಲಂಡನ್​ಗೆ ಹೋಗಲು ಒತ್ತಾಯಿಸಿದ್ದು ಗಣಿತಜ್ಞ ಇ.ಎಚ್.ನೆವೀಲ್. ಪ್ರಯಾಣದ ವೆಚ್ಚವನ್ನು ಮದ್ರಾಸ್ ವಿಶ್ವವಿದ್ಯಾಲಯ ವಹಿಸಿಕೊಂಡಿತ್ತು. ಸಮುದ್ರ ದಾಟಿ ಹೋಗುವುದಕ್ಕೆ ಅವರ ಬ್ರಾಹ್ಮಣ ಕುಟುಂಬ ಒಪ್ಪಲಿಲ್ಲ. ನಾಮಗಿರಿ ದೇವಿ ಕನಸಿನಲ್ಲಿ ಬಂದು ಅನುಮತಿ ನೀಡಿದ ನಂತರ ನಾನು ಹೊರಡಲು ಸಿದ್ಧತೆ ನಡೆಸಿದೆ ಎಂದು ರಾಮಾನುಜನ್ ಹೇಳಿದ್ದರು. 1914 ಏಪ್ರಿಲ್ 14 ರಂದು ಅವರು ಲಂಡನ್​ಗೆ ಬಂದರು.

1919: ಒಂದನೇ ಮಹಾಯುದ್ಧ ಮುಗಿದ ಮೇಲೆ ರಾಮಾನುಜನ್ ಊರಿಗೆ ಮರಳಿದರು. ಅವರ ಆರೋಗ್ಯ ಮತ್ತಷ್ಟು ಹದಗೆಟ್ಟಿತು.

1920: ಅನಾರೋಗ್ಯದಿಂದ ಬಳಲುತ್ತಿದ್ದರೂ ರಾಮಾನುಜನ್ ಸಂಖ್ಯೆಗಳಿಂದ ಗಣಿತ ಮೋಹ ಕಡಿಮೆ ಮಾಡಿಕೊಳ್ಳಲಿಲ್ಲ. ಏಪ್ರಿಲ್ 26, 1920ರಂದು ಕುಂಬಕೋಣದಲ್ಲಿ ನಿಧನರಾದರು.

Published On - 6:47 am, Tue, 22 December 20